Μεγάλες κρίσεις των Μαθηματικών

Η πρώτη μεγάλη κρίση στα Μαθηματικά προέκυψε με την ανακάλυψη των άρρητων αριθμών και των ασύμμετρων μεγεθών. 

Οι Πυθαγόρειοι καθώς και οι μαθηματικοί πριν από αυτούς θεωρούσαν ότι όλα τα μεγέθη μπορούν να συγκριθούν με ένα άλλο. Είναι όπως λέμε χαρακτηριστικά: σύμμετρα μεγέθη. Για παράδειγμα δύο ευθύγραμμα τμήμα συγκρινόμενα με ένα ευθύγραμμο τμήμα(θεωρούμενο τμήμα αναφοράς) δίνουν τελική σχέση-λόγο ανάμεσα τους.

Η ανακάλυψη του άρρητου αριθμού  , η οποία λέγεται ότι προήλθε από τον Ίππασο τον Μεταπόντιο, έδωσε ένα τέλος στην παντοκρατορία των ρητών αριθμών. Μέχρι τότε οι ρητοί αριθμοί θεωρούνταν ότι «δομούσαν» τον κόσμο και την φύση.

      Ο Ίππασος ήταν Πυθαγόρειος μαθηματικός. Η ακμή του τοποθετείται στα πρώτα 40 χρόνια του 5ου αιώνα π.Χ. και θεωρείται από τους αρχαιότερους μαθητές του Πυθαγόρα. Η διδασκαλία του διέφερε των άλλων Πυθαγορείων.

Κεντρική θέση σε αυτή, είχε η παραδοχή ότι αρχή του κόσμου ήταν η ύλη και όχι άϋλες μορφές όπως πίστευε η πλειονότητα των Πυθαγορείων. Εικασίες για τον Ίππασο αναφέρουν ότι καταδιώχθηκε ή τελικά φονεύθηκε. Ακόμη έχει ειπωθεί ότι λόγω της ανακάλυψης του άρρητου αριθμού ρίχθηκε στην θάλασσα. Με την επινόηση του Ίππασου οι Πυθαγόρειοι ήρθαν σε αμηχανία καθώς μεγέθη όπως η πλευρά ενός τετραγώνου ,η πλευρά ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου κ.ά , ενώ σαν γεωμετρικές έννοιες ήταν απολύτως κατανοητά, μετρικά δεν εκφράζονταν με τους τότε γνωστούς αριθμούς. Αλήθειες όπως: «ο κόσμος εκφράζεται κατά τρόπο ρητό» καταστρατηγούνταν πλήρως.

      Στην έμπρακτη λύση του προβλήματος συνέβαλε ο Εύδοξος , μαθητής του Πλάτωνα και του Πυθαγόρειου Αρχύτα δίνοντας ορισμό για την ισότητα δύο λόγων ανεξάρτητο των δύο μεγεθών. Ανεξάρτητο από το γεγονός να είναι σύμμετρα ή ασύμμετρα τα δύο μεγέθη. Ο ορισμός είναι χαρακτηριστικός: «Μεγέθη λέγονται ότι έχουν τον ίδιο λόγο το πρώτο προς το δεύτερο και το τρίτο προς το τέταρτο, όταν τα ισάκις πολλαπλάσια του πρώτου και τρίτου των ισάκις πολλαπλασίων του δευτέρου και τετάρτου καθ' οιονδήποτε πολλαπλασιασμόν ή είναι μεγαλύτερα ή ίσα ή μικρότερα, όταν ληφθούν καταλλήλως» Γενικότερα, η θεωρία του Ευδόξου ήταν δομημένη σε ακέραιες γεωμετρικές ποσότητες χωρίς την ύπαρξη ρητών ή αρρήτων.

       Η δεύτερη μεγάλη κρίση των Μαθηματικών κατά τον  H.Eves συνέβη με επίκεντρο τον απειροστικό λογισμό. Το 18ο αιώνα εμφανίζεται ένας νέος λογισμός. Οι επιστήμονες εκείνης της εποχής είχαν πεισθεί για την ‘αλήθεια’ του λογισμού από τις εντυπωσιακές εφαρμογές που είχε και από το γεγονός ότι μπορούσε να προβλέψει τον τρόπο που λειτουργούσε ο φυσικός κόσμος και πιο συγκεκριμένα η μηχανική και η κίνηση των πλανητών. Θεμελιωτές του μπορούν να χαρακτηριστούν ο I.Newton και ο G.Leibniz.Ο Newton χρησιμοποιώντας την ταχύτητα προσπάθησε να εξηγήσει την παράγωγο. Την ίδια περίοδο οι προσπάθειες του Leibniz να εξηγήσει απειροστικές έννοιες ήταν επίμονες αλλά συγκεχυμένες. Υποστήριζε χαρακτηριστικά ότι όροι όπως το άπειρο και τα απειροστά είναι έννοιες που μπορούν να θεωρηθούν ποσότητες οσοδήποτε μικρές ή μεγάλες ώστε το σφάλμα που δημιουργείται είναι μικρότερο από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό. Αξιοσημείωτες ήταν και οι ενέργειες άλλων μεγάλων μαθηματικών της εποχής όπως ο D’ Alembert (1717-1983), ο οποίος εργάστηκε με εμβάθυνση στην έννοια του ορίου, ο Euler (1707-1783) και ο Lagrange (1736-1813).

        Τα μαθηματικά και ο απειροστικός λογισμός όμως ειδικότερα ενώ απαντούσαν σε ερωτήματα της καθημερινότητας δεν είχαν αυστηρότητα και λογικά άλματα ήταν εμφανή. Την λύση ήρθε να δώσει ο Γάλλος μαθηματικός Augustin Louis Cauchy (1789-1857) ,πρωτοπόρος στην ανάλυση. Η αυστηρότητα στο να αποδεικνύει τα θεωρήματα του απειροστικού λογισμού απορρίπτοντας κάθε αρχή της γενικότητας της άλγεβρας που χρησιμοποιήθηκε από παλιότερους συγγραφείς είναι χαρακτηριστική. Το 1821 ο Cauchy δημοσίευσε το περίφημο βιβλίο του Cours d'Analyse για τα μαθήματα που παρέδιδε στην Ecole Polytechnique . Το έργο αυτό του Cauchy είναι ένα από τα βιβλία που επηρέασε περισσότερο τα μαθηματικά. Δεν έδωσε μόνο έναν ορισμό των ορίων αλλά έδωσε και τα μέσα για να γίνουν αυστηρά τα θεμέλια του λογισμού. Ένας σύγχρονος μαθηματικός πιστεύει ότι ο Cauchy στις αυστηρές αποδείξεις του στην ανάλυση εισάγει τα ‘δ, ε’. Όμως με μια πρώτη ματιά στο Cours d’analyse βλέπει ότι δεν υπάρχουν ‘δ, ε’ στον ορισμό του ορίου και ακόμη οι προτάσεις στον ορισμό ακούγονται περισσότερο διαισθητικές παρά βασισμένες στην άλγεβρα των ανισοτήτων. Έπειτα στο Calcul infinitesimal (1823) ο Cauchy ορίζει την παράγωγο σαν λόγο πηλίκου διαφορών καθώς οι διαφορές είναι απειροελάχιστες. Βλέποντας το Cours d’analyse παρατηρούμε ότι ο Cauchy χρησιμοποιεί το κριτήριο Cauchy για τη σύγκλιση σειρών το οποίο όμως δεν έχει αποδείξει ότι είναι ικανή συνθήκη για τη σύγκλιση. Όρισε ακόμη τη συνέχεια με απειροστικούς όρους, έδωσε αρκετά σημαντικά θεωρήματα στην μιγαδική ανάλυση και ξεκίνησε τη μελέτη των αντιμεταθετικών ομάδων στην αφηρημένη άλγεβρα. Η επιρροή του Cauchy στα Μαθηματικά ήταν τεράστια. Χωρίς υπερβολή το όνομα του είναι αυτό που αναφέρεται περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο στα διάφορα θεωρήματα που υπάρχουν. Το Cours d'Analyse είχε τέτοια επίδραση που θεωρήθηκε ο άνδρας που έμαθε αυστηρή ανάλυση σε ολόκληρη την Ευρώπη. Το βιβλίο αυτό συχνά αναφέρεται ως το πρώτο όπου οι ανισότητες και επιχειρήματα της μορφής  άρχισαν να εισάγονται στο λογισμό.

       Τα επιτεύγματα του Cauchy αν και εξαιρετικά δεν ήταν μοναδικά. Παρόμοιες ανακαλύψεις έκανε ο σύγχρονος του Bernhard Bolzano (1781-1848). Αν και δεν είχε μεγάλη επιρροή στα μαθηματικά της εποχής του (ήταν και θεολόγος παράλληλα) το έργο του ήταν εξαίσιο. Ο διαχωρισμός του Bolzano με το παρελθόν ήταν πιο έντονος. Για παράδειγμα σε αντίθεση με τη συντηρητική ορολογία του Cauchy αποφεύγει σκόπιμα τη γλώσσα της κίνησης και τον όρο απειροελάχιστο “infinitesimal”. Ο Bolzano έπειτα αποδεικνύει το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών συνεχούς συνάρτησης. Η απόδειξη η οποία ήταν διαφορετική από αυτή του Cauchy χρησιμοποιεί αυτό που σήμερα ονομάζουμε ιδιότητα Bolzano – Weierstrass για πραγματικούς αριθμούς(τη σύγκλιση δηλαδή κάθε μονότονης και φραγμένης ακολουθίας). Επιπλέον σε εργασία του το 1817 χρησιμοποιεί αυτό που σήμερα λέμε κριτήριο Cauchy για σύγκλιση ακολουθίας, το οποίο ο Cauchy δήλωσε ως κριτήριο σύγκλισης σειράς το 1821. Τα κατορθώματα του Bolzano δεν σταματούν εδώ. Σε επόμενες εργασίες χωρίς να έχει διαβάσει τα βιβλία του Cauchy o Bolzano έκανε επιπρόσθετη εργασία. Επεξεργάστηκε  σε μια βάση ανισοτήτων πολλές ιδιότητες παραγώγων, μεγίστων και σειρές Taylor. Μια σπουδαία ανακάλυψη του ήταν το παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης ,η οποία δεν είναι πουθενά διαφορίσιμη.

      Αξίζει να σημειωθεί πως η σύμπτωση μεταξύ των εργασιών του Cauchy και του Bolzano είναι πολύ μεγάλη για να είναι τυχαία με το πιο πιθανό να είναι ο Cauchy να έχει δει τις εργασίες του Bolzano και να τις χρησιμοποιεί χωρίς να τον αναφέρει. Ούτε ο Cauchy ούτε ο Bolzano είχαν λύσει όλα τα προβλήματα στην ανάλυση μέχρι το 1825. Υπάρχουν δύο μεγάλα κενά στις εργασίες του Cauchy. Πρώτον δεν ξεχώρισε τη σύγκλιση από την ομοιόμορφη σύγκλιση και τη συνέχεια από την ομοιόμορφη συνέχεια. Επίσης ενώ χρησιμοποίησε πολλά αξιώματα των πραγματικών αριθμών δεν είχε κατανοήσει πλήρως τη φύση της πληρότητας ή τις τοπολογικές ιδιότητες του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Επίσης ο λεκτικός ορισμός των ορίων και της συνέχειας που χρησιμοποιούνταν από τους Cauchy και Bolzano κρύβει την διάκριση μεταξύ « για κάθε ε, υπάρχει δ για κάθε χ» και «για κάθε ε και για κάθε χ, υπάρχει ένα δ». Ανάμεσα στους τύπους για τις ιδιότητες της πληρότητας υπέθεσε ότι μια φραγμένη, μονότονη ακολουθία συγκλίνει σε ένα όριο και ότι το κριτήριο Cauchy είναι επαρκής συνθήκη για τη σύγκλιση σειράς. Ενώ κατανοούσε ότι ένας πραγματικός μπορούσε να οριστεί σαν όριο ρητών δεν ανέπτυξε αυτή του την ενόραση στον ορισμό ή στις ιδιότητες των πραγματικών. Για τον Cauchy ήταν κάτι μη αναγκαίο οι πραγματικοί και οι συνέπειες της μονοτονίας. Ο Cauchy ήταν αυτός που ‘δίδαξε’ αυστηρή ανάλυση όλη την Ευρώπη , ενώ οι εργασίες του Bolzano ήταν ακόμα σχεδόν αδιάβαστες μέχρι το 1860. Ο λόγος είναι εν μέρη κοινωνικός και διδακτικός. Η Ecole Polytechnique στο Παρίσι όπου παρέδιδε ο Cauchy τα μαθήματα του ήταν η πρώτη επιστημονική σχολή στην Ευρώπη και το Παρίσι ήταν το κέντρο του μαθηματικού κόσμου. Ενώ αντίθετα ο Bolzano εργαζόταν στην Πράγα και ήταν περισσότερο γνωστός σαν φιλόσοφος και θεολόγος παρά σαν μαθηματικός.

      Η τρίτη κρίση στα μαθηματικά κατά τον H.Eves εστιάζεται γύρω στο 1897 και στη θεωρία συνόλων όπου οι συζητήσεις εντάθηκαν και υπονόησαν θεμελιώδη προβλήματα στην θεωρία συνόλων του Candor. Σε ένα έγγραφο του 1897 ο Cesare Burali-Forti ,εμφάνισε το πρώτο παράδοξο, το λεγόμενο Burali-Forti παράδοξο: ο τακτικός αριθμός του συνόλου όλων των τακτικών αριθμητικών πρέπει να είναι τακτικός και αυτό οδηγεί σε μια αντίφαση. Ο Candor ανακάλυψε αυτό το παράδοξο το 1895, και το περιέγραψε σε μία επιστολή του 1896 στον David Hilbert. Το 1899 ανακάλυψε το ομώνυμό "παράδοξο του Candor" σχετικά με τον πληθάριθμο του συνόλου των συνόλων. Έτσι οδηγήθηκε στο να διατυπώσει μια έννοια που ονομάζεται όριο μεγέθους, σύμφωνα με το οποίο η συλλογή όλων των τακτικών αριθμητικών, ή όλων των συνόλων, ήταν μια ασυνεπής πολλαπλότητα που ήταν πολύ μεγάλη ώστε να είναι ένα σύνολο.

Αξίζει να τονιστεί η προσπάθεια του Gottlob Frege ο οποίος προσπάθησε να διατυπώσει θεμελιωδώς και αξιωματικά την θεωρία συνόλων. Εκεί που πίστευε πως είχε τελειώσει ήρθε μία επιστολή του Bertran Russel όπου ισχυριζόταν ότι είχε αντιφάσεις η συνολοθεωρία του Frege.Σημειώνει χαρακτηριστικά ο Frege:

«Δεν υπάρχει μεγαλύτερη ατυχία που μπορεί να συμβεί σε έναν συγγραφέα επιστημονικού συγγράμματος από αυτήν του να δει κάποιο από τα θεμέλια του οικοδομήματός του να τρέμει μετά το τέλος της οικοδόμησης .Αυτή ήταν η θέση στην οποία περιήλθα μετά από ένα γράμμα του κυρίου Russell ακριβώς τη στιγμή που το τύπωμα αυτού του τόμου ήταν κοντά στο τέλος του.»

    Στη θεμελίωση των μαθηματικών το παράδοξο του Russell που ανακαλύφθηκε το 1901 έδειξε ότι η θεωρία συνόλων του Candor έχει αντίφαση. Ασφαλώς, το παράδοξο αυτό είχε ανακαλυφθεί και από τον Ernst Zermelo ο οποίος είχε αποφύγει να το παρουσιάσει και το είχε δείξει μόνο σε κάποια μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέντινγκεν. Το παράδοξο του Russell είναι το εξής:

Αν το σύνολο R μπορεί να θεωρηθεί ως μέλος του εαυτού του αυτό έρχεται σε αντίφαση με τον ορισμό ότι ένα σύνολο περιέχει όλα τα σύνολα που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Από την άλλη εάν ένα τέτοιο σύνολο δεν είναι μέλος του εαυτού του θα μπορούσε να χαρακτηριστεί ως ένα μέλος από τον ίδιο τον ορισμό.

     Μια κοινή άποψη μεταξύ των μαθηματικών είναι ότι αυτά τα παράδοξα, μαζί με το παράδοξο του Russell , δείχνουν ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχει μία απλοϊκή, ή μη-αξιωματική, προσέγγιση στην θεωρία συνόλων χωρίς τον κίνδυνο αντίφασης και αυτό είναι βέβαιο ότι ήταν μεταξύ των κινήτρων για τον Ernst Zermelo και άλλων που παρήγαγαν την αξιωματική θεωρία της θεωρίας συνόλων. Άλλοι σημειώνουν, ωστόσο, ότι τα παράδοξα δεν εξασφαλίζονται τελικά από μια άτυπη άποψη που υποκινείται από την von Neumann ιεραρχία, που μπορεί να θεωρηθεί ως εξήγηση της ιδέας του περιορισμού του μέγεθος. Κάποιοι τέλος, αμφισβητούν επίσης κατά πόσον η Gottlob Frege απλοϊκή θεωρία συνόλων είναι πραγματικά μια πιστή ερμηνεία της καντοριανής σύλληψης.